Теорема Безу и корни многочлена
Теорема Безу связывает значение многочлена P(a) с делением на x-a: остаток равен P(a). Поэтому число a является корнем многочлена тогда и только тогда, когда P(a)=0 и многочлен делится на x-a без остатка.
На этой странице
- понять, что означает запрос «теорема Безу для уравнений»
- разобрать алгоритм на конкретных примерах
- проверить ответ и перейти к похожей практике
Основное правило
Если P(a)=0, двучлен x-a является множителем P(x). Это позволяет уменьшить степень многочлена и продолжить решение уже более простого уравнения.
Порядок решения
| Шаг | Действие |
|---|---|
| 1 | Запишите многочлен P(x). |
| 2 | Подберите возможное значение a. |
| 3 | Вычислите P(a). |
| 4 | Если P(a)=0, разделите P(x) на x-a. |
| 5 | Решите уравнение для оставшегося множителя. |
Примеры с ответами
| Уравнение / пример | Ответ | Комментарий |
|---|---|---|
| P(x)=x²-5x+6, a=2 | P(2)=0 | Значит x-2 является множителем. |
| P(x)=x³-6x²+11x-6, a=1 | P(1)=0 | После деления остается квадратный многочлен. |
| P(x)=x²+1, a=1 | P(1)=2 | x-1 не является множителем. |
Как проверить себя
- Сначала определите тип уравнения или задачи.
- Запишите ключевое преобразование отдельной строкой.
- Проверьте полученный результат в исходном условии.
Частые ошибки
- Считают a корнем без проверки P(a)=0.
- Путают делитель x-a с x+a.
- После нахождения одного корня не решают оставшийся множитель.
Что важно понимать
Теорема Безу - основа для поиска рациональных корней полиномиальных уравнений. В связке со схемой Горнера она дает быстрый способ проверить кандидат и сразу получить многочлен меньшей степени.
Когда пригодится этот материал
- для домашней работы и самопроверки
- перед самостоятельной или контрольной
- когда нужно быстро вспомнить конкретный способ решения
Вопросы по теме
Что утверждает теорема Безу?
Остаток от деления P(x) на x-a равен P(a).
Когда a является корнем многочлена?
Когда P(a)=0. Тогда P(x) делится на x-a без остатка.
Как теорема связана с методом Горнера?
Схема Горнера быстро вычисляет P(a) и одновременно дает коэффициенты частного.
Для чего она нужна при решении уравнений?
Чтобы находить множители и понижать степень полиномиального уравнения.
Тренажер: разные уравнения
Загрузка задания...
Решите пример самостоятельно.