Метод Горнера для решения уравнений
Схема Горнера помогает быстро вычислить значение многочлена и разделить его на двучлен x-a. Если a является корнем, остаток равен нулю, а степень уравнения после деления уменьшается.
На этой странице
- понять, что означает запрос «метод Горнера»
- разобрать алгоритм на конкретных примерах
- проверить ответ и перейти к похожей практике
Основное правило
Коэффициенты многочлена последовательно преобразуются с помощью предполагаемого корня a. Последнее число схемы - остаток P(a), остальные числа задают коэффициенты частного.
Порядок решения
| Шаг | Действие |
|---|---|
| 1 | Запишите коэффициенты многочлена по убыванию степеней, включая нули для пропущенных степеней. |
| 2 | Выберите предполагаемый корень a. |
| 3 | Снесите первый коэффициент, затем умножайте полученное число на a и складывайте со следующим коэффициентом. |
| 4 | Проверьте остаток. Если он равен нулю, разделение на x-a выполнено без остатка. |
| 5 | Решите уравнение меньшей степени. |
Примеры с ответами
| Уравнение / пример | Ответ | Комментарий |
|---|---|---|
| x³-6x²+11x-6=0 | x=1;2;3 | Корень 1 уменьшает степень, затем решаем квадратное. |
| x³-4x²+x+6=0 | x=-1;2;3 | Проверяем целые делители свободного члена. |
| 2x³-3x²-8x+12=0 | используем схему Горнера | Сначала ищем рациональный корень. |
Как проверить себя
- Сначала определите тип уравнения или задачи.
- Запишите ключевое преобразование отдельной строкой.
- Проверьте полученный результат в исходном условии.
Частые ошибки
- Забывают нулевой коэффициент при отсутствующей степени.
- Считают любой выбранный a корнем, не проверив остаток.
- Путают коэффициенты частного и остаток.
Что важно понимать
Метод Горнера особенно полезен для кубических и более высоких степеней, если удается найти один рациональный корень. После деления исходный многочлен становится проще, а оставшуюся часть можно решить стандартными методами.
Когда пригодится этот материал
- для домашней работы и самопроверки
- перед самостоятельной или контрольной
- когда нужно быстро вспомнить конкретный способ решения
Вопросы по теме
Что показывает последнее число схемы Горнера?
Остаток от деления, то есть значение P(a).
Когда x-a является множителем?
Когда P(a)=0, то есть a - корень многочлена.
Зачем метод Горнера при решении уравнений?
Он позволяет по найденному корню уменьшить степень многочлена.
Как выбрать предполагаемый корень?
Для многочлена с целыми коэффициентами часто проверяют делители свободного члена с учетом старшего коэффициента.
Тренажер: разные уравнения
Загрузка задания...
Решите пример самостоятельно.